Binární G-systémy

Popis: D:\binary\images\d_gbsyst.jpg



Binární G-systém

Binarní systém G(2,k) je zvláštní případ G-systému, n=2. Je vhodný pro klassifikaci hudebních struktur.

Distanční schéma

V binarním systému (base E(A) ={0, 1}) je snadné vyjádřit strukturu instancí.
Nechť úroveň druhu L je počet číslic "1" v instanci a nechť interval je vzdálenost mezi dvěma číslicemi "1". Distanční schéma je výpis všech sousedících intervalů, poslední interval v závorkách.

 k-gon                                     distanční schema
     0
   0   0                                           (0)
     0
     0         0         0         1
   1   0     0   0     0   1     0   0             (4)
     0         1         0         0
     0         0         1         1
   1   0     0   1     0   1     1   0           1 (3)
     1         1         0         0
     0         1
   1   1     0   0                               2 (2)
     0         1
     0         1         1         1
   1   1     0   1     1   1     1   0         1 1 (2)
     1         1         0         1
     1
   1   1                                     1 1 1 (1).
     1
 

Mocniny (a+b)

Mocniny (a+b) jsou příkladem systému G(2,k). Mechanismus vnoření je označen závorkami [].

 ( a + b )^1 = a + b
 ( a + b )^2 = [a]^2+ 2ab + [b]2
 ( a + b )^3 = [a]^3+ 3a^2b + 3ab^2 + [b]3
 ( a + b )^4 = [a]^4+ 4a^3b + 4a^2b^2+ 2[ab]^2+ 4ab^3+ [b]^4
 ( a + b )^5 = [a]^5+ 5a^4b + 10a^3b^2+ 10a^2b^3+ 5ab^4+ [b]^5
 ( a + b )^6 = [a]^6+ 6a^5b + 12a^4b^2+ 3[a^2b]^2+ 18a^3b^3+ 2[ab]^3+ 12a^2b^4+ 3[ab^2]^2+ 6ab^5+[b]^6

Z pohledu struktur G-systémů není výraz a^2 * b^2 roven [a*b]^2 (podobně a^4 * b^2 a [a^2 * b]^2, ...).

Pascalův trojúhelník vychází z g-druhů následujícím způsobem:

   k = 1:                   {1} + {1}
                             x     x
                             1     1
   k = 2:               [1]1+ {2} + [1]1
                               x
                               1
   k = 3:           [1]1+ {3} + {3} + [1]1
                           x     x
                           1     1
                                [2]2
                                 +
   k = 4:           [1]1+ {4} + {4} + {4} + [1]1
                           x     x     x
                           1     1     1
   k = 5:       [1]1+ {5} + {10} + {10} +  {5} + [1]1
                       x      x      x      x
                       1      1      1      1
                          [3]3  [2]2  [3]3
                           +     +     +
   k = 6:     [1]1+ {6} + {6} + {6} + {6} + {6} +  [1]1
                     x     x     x     x     x
                     1     2     3     2     1
   k = 7:  [1]1+ {7} + {7} + {7} + {7} + {7} + {7} +  [1]1
                  x     x     x     x     x     x
                  1     3     5     5     3     1
                                  [2]2
                                    +
                       [4]4       [4]4        [4]4
                       +            +           +
   k = 8: [1]1+ {8} + {8} + {8} + {8} + {8} + {8} + {8} + [1]1
                 x     x     x     x     x     x     x
                 1     3     7     8     7     3     1

Podstruktury druhů

Podstrukurou druhu g v G(2,k) je takový druh g*, pro kterou jedna z instancí u* vyhovuje vztahu

   u*=u* AND g (binárně).

Například [0001] v G(2,4) je podstrukturou [0101], protože [0001]=[0001] AND [0101].
Naopak např. [0011] není podstrukturou [0101].

Třída g=1387 (známá z hudby), tj. [101011010101], má distanční schéma 221221(2) a 65 podstruktur. V následujícím přehledu jsou podstruktury vypsány - setříděné po úrovních.

 0/ 0
 1/ 1
 2/ 3,5,9,17,33,65
 3/ 11,13,21,35,37,41,49,67,69,73,81,97,133,137,145
 4/ 43,45,53,75,85,99,105,139,141,149,163,165,169,
 177,197,209,291,293,297,329
 5/ 107,171,173,181,213,299,301,331,355,397,461,421,
 425,597,661
 6/ 363,427,429,685,693,725
 7/ 1387

Schematická algebra